[udir-task]

Barget guovttis ja guovttis

20 min

Algoritmmat

Go oahppit barget matemáhtalaš algoritmmaiguin, de sii ožžot ipmárdusa das guđe láhkái dihto čuolbma sáhttá čovdojuvvot. Dát sáhttá addit áddejumi dan matematihkas mii lea duogábealde kalkuláhtora ja eará digitála veahkkeneavvuid, ja dat fas sáhttá leat ávkin addit čiekŋalet oahppama ja addit lasáhusa ohppiid matemáhtalaš reaidokássii.

Dán aktivitehtas mii geavahit fárffuid. Dii barggaidet fárffuiguin 1.oasis (bárraloguid submen) ja 3.oasis mii geahččat vel eambbo man nanosmahtti fárffuid geavaheapmi lea matematihkas. Dás mii oaidnit mo dološ metodat, mas babylonlaččat "čovde fárffuid gieđain", sáhttet dahkkojuvvot beaktilin dihtoriin.

Kvadráhttaruohttasat

Dál mii geahččat algoritmma rehkenastit kvadráhttaruohttasiid. Oahppit leat hárjánan deaddilit boalu, muhto muhtimiidda sáhttá leat miellagiddevaš diehtit mo mii duođaid rehkenastit kvadráhttaruohttasa ovtta logus. Dasa lassin sáhttá leat ávkkálaš ohppiide hárjánit lohkat matemáhtalaš notašuvnna.

Kvadráhttaruohttasiid sáhttá rehkenastit máŋggaládje. Hui álkes vuohki gávnnahuvvui dološ Babylonias badjel 3500 jagi dás ovdal. Sis eai lean dihtorat dan áiggis, muhto gieđain dahke algoritmma. Dát lea iteratiivvalaš metoda, mii mearkkaša ahte mii geardduhit ovtta operašuvnna hui olu gerddiid gitta dassážii go oažžut sávvojuvvon presišuvnna. Dihtoriin mii sáhttit geardduhit algoritmma hui olu gerddiid nu ahte oažžut mihá buoret presišuvnna maiddái stuora loguid ektui. Algoritmma válddaha mo mii rehkenastit ruohttasa ovtta duohta a logus dihto álggáhanárvádusa vuođul.

$LaTeX: x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)$

Dát notašuvdna doaibmá dutnje gii leat oahpaheaddji, muhto ohppiide lea hástaleaddji ipmirdit dán cealkaga. Jus dii dán geavahehpet luohkás, de berre bidjat veahá áiggi čilget ja vaikko álkidahttit cealkaga. Algoritmma sáhttá maid gávnnahuvvot go geavaha álkis resonnemeanttaid. Geahča video vulobealde vai oainnát historjjálaš láidestusa algoritmai.

Algoritme for beregning av kvadratrøtter from Utdanningsdirektoratet on Vimeo .

[udir-reveal]

Gávnnahus

Mis lea positiiva lohku a mas mii hálidit kvadráhttaruohttasa váldit. Dát lohku lea vissasii seamma go ieš:

$LaTeX: a\:=\:a$

Mii viiddidit ovttamađodaga. Juohke duohta lohkui $LaTeX: x\:\ne0$ mis lea ahte:

$LaTeX: x\cdot\frac{a}{x}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}$

De mii oaidnit ahte jus ovttaláganvuohta galgá bissut, de fertejit čuovvovaš vealat maid bissut:

1) Jus $LaTeX: x<\sqrt{a}$ , lea $LaTeX: \frac{a}{x}>\sqrt{a}$

2) Jus $LaTeX: x>\sqrt{a}$ , lea $LaTeX: \frac{a}{x}<\sqrt{a}$

Dat mearkkaša ahte doppe lea lohku gaskal x ja a/x mii lea seamma go a :a kvadráhttaruohtas. Mii geahččalit gávdnat dán logu go váldit x ja a/x gaskameari:

$LaTeX: \sqrt{a}\approx\frac{x+\frac{a}{x}}{2}\:$

Danin go vealat bissot juohke áidna x árvvus, de mii sáhttit boahtit laga-lagabui a kvadráhttaruohttasa jus mii geardduhit algoritmma:

$LaTeX: x_{n+1}\approx\frac{x_n+\frac{a}{x_n}}{2}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)\:$

Mii lea dat algoritmma maid mii galggaimet vuođuštit.

Dál mii geahččalit dán algoritmma geavahit estimeret $LaTeX: \sqrt{12}$ .

a) Mii sáhttá leat buresvuođuštuvvon álggahanárvádus?

[udir-reveal]

Čoavdinevttohus a)

Danin go 9 ruohtas lea 3 ja 16 ruohtas lea 4, de ferte 12 ruohtas leat juoga sajes gaskal 3 ja 4. Danin sáhttá buorre álggahanárvádus leat 3,5. Fuomáš ahte dii oažžubehtet árvádallat vaikko guđe logu, muhto algoritma sáhttá johtit máŋga lávkki ovdal go dat olaha buori árvvu.

b) Ráhkat pseudokoda algoritmmas. Válddat/čilge maid dat dahká.

[udir-reveal]

Čoavdinevttohus b)

a = 12
x_boaris = 3.5

gearddut n gerddiid:
    x_ođas = 0.5*(x_boaris + a/x_boaris)
    x_boaris = x_ođas

c) Implementere algoritmma vulobealde ja teaste dan 12 ja 4567 ruohttasii. Geahččal áinnas iešǧuđet gerddiid geardduhemiid ja oainne man johtilit algoritma manná jierpmálaš vástádussii.

[udir-reveal]

Čoavdinevttohus c)

Mii sáhttit dahkat guokte goabbatlágan variábela dása $LaTeX: x_{ny}$ ja $LaTeX: x_{gammel}$ , nu mo skissejuvvon pseudokodas, muhto dat ii leat dárbbašlaš. Dás mii geavahit dušše ovtta variábela, muhto ferte juohke dilis árvvoštallat mii lea buoremus pedagogalaš perspektiivvas. Sáhttá maid leat buorre jurdda seastit álggahanárvádusa (dás mii čállit dan badjel), vai beassat dan geavahit maŋŋelis prográmmas.

a = 12  # Lohku  mas mii váldit ruohttasa
x = 3.5 # Álggahanárvádus a ruohttasisN = 10  # Fárfojoruid lohku (iterašuvnna)

for i in range(N):
   x = 0.5*(x + a/x)

print(a,"ruohtas lea sullii", x)

d) Jus áigi: Ráhkat algoritmma Python-funkšuvdnan. Rehkenastte áinnas erohusa gaskal du iežat funkšuvnna ja sqrt-funkšuvnna Pylab-bibliotehkas.

[udir-reveal]

Čoavdinevttohus d)

# Dás definere funkšuvnna
def kvadráhttaruohtas(a,x0,N):
    x = x0
    for i in range(N):
        x = 0.5*(x + a/x)
    return x

a = 4567
# Gohčču (geavaha) funkšuvnna
ruohtas = kvadráhttaruohtas(a, 3.5, 10)
print(a, "ruohtas lea sullii, ruohtas")

Dá lea okta vuohki meattáhusanalysa dahkat. Fuomás ahte meattáhus šaddá hui unni vel dalle ge go leat unnán iterašuvnnat (fárfojorut).

from pylab import *

a = 4567
ruohtas_iežas = kvadráhttaruohtas(a, 50, 5)
ruohtas_pylab = sqrt(a)
rel_erohus = abs(ruohtas_iežas - ruohtas_pylab)/ruohtas_pylab * 100
print("Relatiiva erohus lea:", rel_erohus, "%")

[udir-task]

Reflekšuvdnagažaldagat

Mii lea erohus algoritmmain ja algoritmmalaš jurddašeamis?
Guđe ládje sáhttet aktivitehtat nugo dat mainna lehpet bargan, ovddidit matemáhtalaš áddejumi?
Man láhkái sáhttibehtet dii oažžut ohppiid dihtomielalažžan dán erohusa hárrái ja ávžžuhit matemáhtalaš suokkardallamii luohkkálanjas

[udir-law]

Gelbbolašvuođamihtuid ovdamearkkat

Matematihkka 1P: Oahppit galget máhttit

Dulkot ja rehkenastit ruohtascealkagiiguin, poteanssaiguin ja standárdavuogi loguiguin

Matematihkka 1T: Oahppit galget máhttit

Sátnádit ja čoavdit čuolmmaid algoritmmalaš jurddašeami vehkiin, iešguđetlágan čuolbmačoavdinstrategiijaiguin, digitála reaidduiguin ja programmeremiin

[udir-task]

Arbeid i par.

20 min

Algoritmer

Når elevene arbeider med matematiske algoritmer, får de innsikt i hvordan et problem kan løses. Dette kan gi en forståelse av matematikken som ligger bak kalkulatorer og andre digitale hjelpemidler, noe som igjen kan bidra til en dypere læring og en utvidelse av den matematiske verktøykassen til elevene.

I denne aktiviteten skal vi bruke løkker. Dere arbeidet med løkker i del 1 (summering av partall), og her i del 3 skal vi se enda mer på styrken ved å bruke løkker i matematikk. Vi skal se hvordan gamle metoder der babylonerne «løste løkker for hånd», kan effektiviseres med datamaskinen.

Kvadratrøtter

Vi skal også se på en algoritme for å beregne kvadratrøtter. Elevene er vant med å bare trykke på en knapp, men det kan være noen som syns det er interessant å se hvordan vi faktisk kan beregne kvadratrota av et tall på egen hånd. I tillegg kan det være nyttig for elevene å trene på å lese matematisk notasjon.

Kvadratrøtter kan beregnes på mange ulike måter. En veldig enkel måte ble formulert i gamle Babylonia for over 3500 år siden. Da hadde de selvfølgelig ikke datamaskiner, men utførte algoritmen for hånd. Dette er en iterativ metode, noe som betyr at vi gjentar en operasjon helt til vi oppnår en ønsket presisjon. Med datamaskiner kan vi gjenta algoritmen veldig mange ganger, slik at vi får mye større presisjon også for store tall. Algoritmen beskriver hvordan vi beregner rota av et reelt tall a gitt en startgjetning.

$LaTeX: x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)$

Denne notasjonen fungerer nok for deg, men elever vil ha utfordringer med å forstå den. Hvis dere bruker denne i klassen, bør dere sette av litt tid til å forklare og eventuelt forenkle utrykket. Algoritmen kan også utledes ved hjelp av enkle resonnementer. Se videoen nedenfor for en historisk innføring i algoritmen.

Algoritme for beregning av kvadratrøtter from Utdanningsdirektoratet on Vimeo .

[udir-reveal]

Utledning

Vi har et positivt tall a vi ønsker å ta kvadratrota av. Dette tallet er åpenbart lik seg selv:

$LaTeX: a\:=\:a$

Nå utvider vi likningen. For ethvert reelt tall $LaTeX: x\:\ne0$ har vi at:

$LaTeX: x\cdot\frac{a}{x}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}$

Vi kan da se at hvis likheten skal holde, må følgende ulikheter også holde:

1) Hvis $LaTeX: x<\sqrt{a}$ , er $LaTeX: \frac{a}{x}>\sqrt{a}$

2) Hvis $LaTeX: x>\sqrt{a}$ , er $LaTeX: \frac{a}{x}<\sqrt{a}$

Det betyr at det finnes et tall mellom x og a/x som er lik kvadratrota av a . Vi kan prøve å finne dette tallet ved å ta gjennomsnittet av x og a/x :

$LaTeX: \sqrt{a}\approx\frac{x+\frac{a}{x}}{2}\:$

Siden ulikhetene holder for enhver verdi av x , kan vi komme nærmere og nærmere kvadratrota av a dersom vi gjentar algoritmen:

$LaTeX: x_{n+1}\approx\frac{x_n+\frac{a}{x_n}}{2}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)\:$

som er algoritmen vi skulle begrunne.

La oss prøve å bruke denne algoritmen på å estimere $LaTeX: \sqrt{12}$ .

a) Hva kan være en velbegrunnet startgjetning?

[udir-reveal]

Løsningsforslag a)

Siden rota av 9 er 3, og rota av 16 er 4, må rota av 12 ligge mellom 3 og 4 et sted. En god startgjetning kan derfor være 3,5. Merk at dere kan gjette hvilket tall dere vil, men algoritmen kan da gå flere steg før den når en tilstrekkelig presis verdi.

b) Lag en pseudokode av algoritmen. Beskriv hva den gjør.

[udir-reveal]

Løsningsforslag b)

a = 12
x_gammel = 3.5

gjenta n ganger:
    x_ny = 0.5*(x_gammel + a/x_gammel)
    x_gammel = x_ny

c) Implementer algoritmen nedenfor og test den ut på rota av 12 og 4567. Prøv gjerne med et ulikt antall gjentakelser og se hvor raskt algoritmen går mot et fornuftig svar.

[udir-reveal]

Løsningsforslag c)

Vi kan godt lage to ulike variabler for $LaTeX: x_{ny}$ og $LaTeX: x_{gammel}$ , som skissert i pseudokoden, men det er ikke nødvendig. Her bruker vi kun én variabel, men i hver enkelt situasjon bør det vurderes hva som er mest hensiktsmessig i et pedagogisk perspektiv. Det kan også være en idé å spare på startgjetningen i en variabel (her overskriver vi det), slik at den kan brukes senere i programmet.

a = 12  # Tallet vi skal ta rota av
x = 3.5 # Startgjetningen av rota av a
N = 10  # Antall løkkerunder (iterasjoner)

for i in range(N):
   x = 0.5*(x + a/x)

print("Rota av", a, "er omtrent", x)

d) Hvis tid: Lag algoritmen som en Python-funksjon. Dere må også gjerne regne ut avviket mellom deres egen funksjon og sqrt-funksjonen i Pylab-biblioteket.

[udir-reveal]

Løsningsforslag d)

# Definerer funksjonen
def kvadratrot(a,x0,N):
    x = x0
    for i in range(N):
        x = 0.5*(x + a/x)
    return x

a = 4567
# Kaller på (bruker) funksjonen
rot = kvadratrot(a, 3.5, 10)
print("Rota av", a, "er omtrent, rot")

Nedenfor ser dere en måte å gjøre feilanalyse på. Legg merke til at feilen blir svært liten, selv med få antall iterasjoner (løkkerunder).

from pylab import *

a = 4567
rot_egen = kvadratrot(a, 50, 5)
rot_pylab = sqrt(a)
rel_avvik = abs(rot_egen - rot_pylab)/rot_pylab * 100
print("Relativt avvik er:", rel_avvik, "%")

[udir-task]

Refleksjonsspørsmål

Hva er forskjellen på algoritmer og algoritmisk tenkning?
Hvordan kan dere gjøre elevene deres bevisste på denne forskjellen, og hvordan kan dere oppfordre til matematisk utforsking i klasserommet?
Hvordan kan aktiviteter som den dere har jobbet med her, bidra til matematisk forståelse?

[udir-law]

Eksempler på aktuelle kompetansemål

Matematikk 1P: Elevene skal kunne

tolke og rekne med rotuttrykk, potensar og tal på standardform

Matematikk 1T: Elevene skal kunne

formulere og løyse problem ved hjelp av algoritmisk tenking, ulike problemløysingsstrategiar, digitale verktøy og programmering